Résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes.

Equations et inéquations

Pour résoudre une équation (ou une inéquation) avec SimulaMath :

• Saisir l’équation (ou l’inéquation) dans le panneau de gauche,

• Spécifier la ou les variables dans la zone des variables,

• Puis appuyez sur le bouton d’affichage.

• La solution de l’équation \((x+1)(2x-5)(x^2+1)=0\) sur \(\mathbb{R}\).

Note

Vous devez spécifier les variables dans la zone des variables

Note

Vous pouvez également résoudre des équations dans un ensemble donné.

• Résolution de l’équation \((x+1)(2x-5)(x^2+1)=0\) sur \(\mathbb{C}\)

• Résolution avec des paramètres

Note

Si l’équation contient des variables qui ne sont pas définies dans la zone des variables, elles sont considérées comme des paramètres.

Résolvons l’équation \(ax+b = 0\) où \(x\in \mathbb{R}\).

• La solution de l’inéquation \(x^2-3x+2 \geq 0\) dans \(\mathbb{R}\)

• La résolution dans \(\mathbb{R}\) de \((x-1)(x+4)=0\text{ et } x>0\).

Systèmes linéaires et non linéaires

Pour entrer un système (ou une inéquation),

1. Saisissez d’abord la première équation (ou inéquation), puis appuyez sur la touche ENTREE ;

2. Saisissez ensuite la deuxième équation (ou inéquation) et appuyez sur ENTREE ;

3. Et ainsi de suite jusqu’à la dernière équation (ou inéquation).

• La solution dans \(\mathbb{R}^2\) du système :

\[\begin{split}\begin{cases} 2x+3y&=-5\\ x-2y&=8 \end{cases}\end{split}\]

• La résolution sur \(\mathbb{R}^3\) du système :

\[\begin{split}\begin{cases} 2x+3y+z&=-5\\ x-2y-z&=3\\ 3x-y-z&=1 \end{cases}\end{split}\]

• La résolution sur \(\mathbb{R}^3\) du système :

\[\begin{split}\begin{cases} 3x-y-2z&=0\\ x+2y-z&=0\\ -4x+5y-z&=0 \end{cases}\end{split}\]

Équations différentielles

• La résolution de l’équation différentielle \(y'''-3y''+3y'-y=0\)

• La résolution de l’équation différentielle \(y'''-3y''+3y'-y=0\) avec les conditions initiales \(y(0) = 0 ; y'(0)=1\) et \(y''(0)=1\).

• La résolution de l’équation différentielle \(y''+2y'+y=0\).

• La solution de l’équation différentielle \(y''+2y'+y=0\) avec les conditions initiales \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\).

• La solution de l’équation différentielle \(y''+y=\cos(x)\)

• La solution de l’équation différentielle \(xy'-3y=(x+1)(x-3)\)

• Résolution de l’équation différentielle \(y''+2y'-8y=4exp(2x)(3x+5)\)

Systèmes différentiels

• La résolution du système différentiel

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=af(t) + g(t)\\ g'(t)&=ag(t) \end{cases}\end{split}\]

avec \(a\in \mathbb{R}\).

• La résolution du système différentiel

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=-f(t) + g(t)\\ g'(t)&= f(t) - g(t) \end{cases}\end{split}\]

• La résolution du système différentiel

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=f(t) - g(t) -h(t)\\ g'(t)&=-f(t)+g(t)-h(t)\\ h'(t)&=-f(t)-g(t)+h(t) \end{cases}\end{split}\]

• La résolution du système différentiel :

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=f(t) - g(t) -h(t)\\ g'(t)&=-f(t)+g(t)-h(t)\\ h'(t)&=-f(t)-g(t)+h(t) \end{cases}\end{split}\]

avec les conditions initiales \(f(0)=0 ; g(0)=1\) et \(h(0)=-1\).

Suites récurrentes linéaires

• La solution de l’équation récurrente \(U(n+1)=U(n)+r\) avec \(r\in \mathbb{R}\).

• La solution de l’équation récurrente \(U(n+1)=2U(n)+b\) avec \(b\in \mathbb{R}\) avec \(U(0)=1\).

• La solution de l’équation récurrente \(U(n+2) -2U(n+1)+U(n)=0\).

Systèmes modulaires

La résolution de certains systèmes modulaires peut être effectuée en utilisant le théorème du reste chinois.

• Exemple : résoudre le système modulaire

\[\begin{split}\begin{cases} x&\equiv 4 \ \mathrm{mod}\ \ 5\\ x&\equiv 2 \ \mathrm{mod}\ 3\\ x&\equiv 3 \ \mathrm{mod}\ 7\\ x&\equiv 1 \ \mathrm{mod}\ 2 \end{cases}\end{split}\]