Résolution d’équations, d’inéquations et systèmes.

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Équations et inéquations

Pour résoudre une équation (ou une inéquation) avec SimulaMath:

  • il faut saisir l’équation (ou l’inéquation) dans le panneau de gauche,

  • préciser la ou les variable(s) dans la zone des variables,

  • ensuite appuyer sur le bouton d’affichage.

  • La résolution de l’équation \((x+1)(2x-5)(x^2+1)=0\). Si aucun ensemble n’est précisé, la résolution sera faite dans \(\mathbb{C}\).

Note

Vous devez préciser les variables dans la zone des variables

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Note

Vous pouvez aussi résoudre des équations dans un ensemble donné.

  • La résolution de l” équation \((x+1)(2x-5)(x^2+1)=0\) dans \(\mathbb{R}\)

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  • Résolution avec des paramètres

Note

S’il y a des variables dans l’équation qui ne sont pas définies dans la zone des variables, alors on les considère comme des paramètres.

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  • La résolution de l’inéquation \(x^2-3x+2<0\) dans \(\mathbb{R}\)

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  • La résolution de l’inéquation \(x^2-3x+2\geq 0\) dans \(\mathbb{R}\)

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  • La résolution dans \(\mathbb{R}\) de \((x-1)(x+4)=0\text{ et } x>0\).

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Systèmes linéaires et non linéaires

Pour saisir un système (ou une inéquation),

  1. Saisir d’abord la première équation (ou inéquation) puis appuyer sur la touche ENTREE;

  2. Puis Saisir la deuxième équation (ou inéquation) puis appuyer sur la touche ENTREE;

  3. Et ainsi de suite jusqu’à la dernière équation (ou inéquation).

  • La résolution dans \(\mathbb{R}^2\) du système:

\[\begin{split}\begin{cases} 2x+3y&=-5\\ x-2y&=8 \end{cases}\end{split}\]
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  • La résolution dans \(\mathbb{R}^3\) du système:

\[\begin{split}\begin{cases} 2x+3y+z&=-5\\ x-2y-z&=3\\ 3x-y-z&=1 \end{cases}\end{split}\]
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  • La résolution dans \(\mathbb{R}^3\) du système:

\[\begin{split}\begin{cases} 3x-y-2z&=0\\ x+2y-z&=0\\ -4x+5y-z&=0 \end{cases}\end{split}\]
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Équations différentielles

  • La résolution de l’équation différentielle \(y'''-3y''+3y'-y=0\)

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y'''-3y''+3y'-y=0\) avec les conditions initiales \(y(0) = 0; y'(0)=1\) et \(y''(0)=1\).

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y''+2y'+y=0\)

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y''+2y'+y=0\) avec les conditions initiales \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\).

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y''+y=\cos(x)\)

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y'+y\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\)

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  • La résolution de l’équation différentielle \(xy'-3y=(x+1)(x-3)\)

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  • La résolution de l’équation différentielle \(y''+2y'-8y=4exp(2x)(3x+5)\)

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Systèmes différentiels

  • La résolution du système différentiel

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=af(t) + g(t)\\ g'(t)&=ag(t) \end{cases}\end{split}\]

avec \(a\in \mathbb{R}\).

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  • La résolution du système différentiel

\[\begin{split}\begin{cases} f'(t)&=-f(t) + g(t)\\ g'(t)&= f(t) - g(t) \end{cases}\end{split}\]
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  • La résolution du système différentiel

\[\begin{split} \begin{cases} f'(t)&=f(t) - g(t) -h(t)\\ g'(t)&=-f(t)+g(t)-h(t)\\ h'(t)&=-f(t)-g(t)+h(t) \end{cases}\end{split}\]
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  • La résolution du système différentiel :

\[\begin{split} \begin{cases} f'(t)&=f(t) - g(t) -h(t)\\ g'(t)&=-f(t)+g(t)-h(t)\\ h'(t)&=-f(t)-g(t)+h(t) \end{cases}\end{split}\]

avec les conditions initiales \(f(0)=0; g(0)=1\) et \(h(0)=-1\).

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Suite récurrentes

  • La résolution de l’équation récurrente \(U(n+1)=U(n)+r\) avec \(r\in \mathbb{R}\).

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  • La résolution de l’équation récurrente \(U(n+1)=2U(n)+b\) avec \(b\in \mathbb{R}\) avec \(U(0)=1\).

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  • La résolution de l’équation récurrente \(U(n+2) -2U(n+1)+U(n)=0\).

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Systèmes modulaires

La résolution de quelques systèmes modulaires peut être faite en utilisant le théorème du reste Chinois.

  • Exemple : la résolution du système modulaire

\[\begin{split}\begin{cases} x&\equiv 4 \ \mathrm{mod}\ 5\\ x&\equiv 2 \ \mathrm{mod}\ 3\\ x&\equiv 3 \ \mathrm{mod}\ 7\\ x&\equiv 1 \ \mathrm{mod}\ 2 \end{cases}\end{split}\]
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