Opérations sur les fonctions et suites

Sur les fonctions

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fonction(var, expr)

la fonction qui à var associe expr i.e var |—–> exp

Paramètres
  • var – variable(s) de la fonction

  • expr – expression de la fonction

Exemple :

simula : f = fonction(x, x^2+2x+1)

f = x |-----> x^2 + 2*x + 1

simula : g = fonction((x, y), x + y + 1)

g = (x, y) |-----> x + y + 1
# On peut aussi simplifier la saisie d'une fonction

simula : h(x) = 2x + exp(x)

h = x |-----> 2*x + exp(x)

simula : h(3x)

6*x + exp(3*x)

Note

On peut aussi faire des opérations sur les fonctions.

Exemple :

simula : f(x) = x^2 ; g(x) = 2x+1; h = f - g

h = x |-----> x^2 - 2*x - 1
deriver(f, var)

la fonction dérivée de \(f\) suivant \(x\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre deriver(f).

Paramètres
  • f – une fonction

  • var – une variable

Exemple :

simula : deriver(cos(x))

-sin(x)

simula : deriver(a*x^2+b*x+exp(x), x) # dérivée par rapport à x

2*a*x + b + exp(x)
primitive(f, var)

la primitive de \(f\) suivant \(x\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre primitive(f).

Paramètres
  • f – une fonction

  • var – une variable

Exemple :

simula : primitive(sin(x))

-cos(x)

simula : primitive(exp(x)+2x, x)

x^2 + exp(x)
integrer(f, x, (x, a, b))

détermine l’intégrale \(\int_a^b f(x) dx\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • a – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

  • b – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

Exemple :

simula : integrer(exp(-x^2), (x, 0, +oo))

racine(pi)/2

simula : integrer(x^2+2x, (x, a, 2a))

7*a^3/3 + 3*a^2
limite(f, x->x0) ou limite(f, x, x0)

la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0} f\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

Exemple :

simula : limite(sin(x)/x, x->0)

1
limiteDroite(f, x->x0) ou limiteDroite(f, x, x0)

la limite à droite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0, x>x_0} f\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

Exemple :

simula : limiteDroite(1/x, x->0)

oo
limiteGauche(f, x->x0) ou limiteGauche(f, x, x0)

la limite à droite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0, x<x_0} f\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

Exemple :

simula : limiteGauche(1/x, x->0)

-oo
developper(f)

le développement de \(f\).

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : developper((2x-1)(x^2+3))

2*x^3 - x^2 + 6*x - 3
developperTrigo(f)

le développement d’une fonction trigonométrique \(f\).

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : developperTrigo(cos(x + y))

-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)
simplifier(f)

la simplification de \(f\).

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : simplifier((x^2-2x+1)/(x-1))

x - 1
simplifierTrigo(f)

la simplification (pour une fonction trigonométrique) \(f\).

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : simplifierTrigo(sin(x)/cos(x))

tan(x)
factoriser(f)

la factorisation de la fonction \(f\).

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : factoriser(x^2+2x+1)

(x + 1)^2
diviser(f, g)

la division de la fonction \(f\) par \(g\).

Paramètres
  • f – une fonction

  • g – une fonction

Exemple :

simula : diviser(x^2 + 2x + 1, x + 1)

(x + 1, 0)
racines(f, var)

les racines (zéros) de \(f(var)\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre racines(f).

Paramètres
  • f – une fonction

  • var – une variable

Exemple :

simula : racines(x^2+2x+1)

{-1: 2}
racineCarree(f) ou racine(f)

la racine carrée de la fonction \(f\) i.e \(\sqrt{f}\)

Paramètres

f – une fonction

Exemple :

simula : racineCarree(4x)

2*racine(x)

simula : x = variable("x", RR, "+") ; racine(16x^2)

4*x
taylor(f, x, x0, ordre)

le développement limité de \(f(x)\) en \(x_0\) à l’ordre indiqué

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

  • ordre – un nombre

Exemple :

simula : taylor(cos(x), x, 0, 7)

1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + O(x^7)

simula : taylor(log(1+x), x, 0)

x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + O(x^6)

Note

Pour le développement limité d’une fonction, vous pouvez omettre l’ordre. Dans ce cas, l’ordre sera celui par défaut.

polynomeTaylor(f, x, x0, ordre)

le développement limité de \(f(x)\) en \(x_0\) tronqué à l’ordre indiqué.

Paramètres
  • f – une fonction

  • x – une variable

  • x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).

  • ordre – un nombre

Exemple :

simula : polynomeTaylor(cos(x), x, 0, 7)

-x^6/720 + x^4/24 - x^2/2 + 1

simula : polynomeTaylor(log(1+x), x, 0)

x^5/5 - x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 + x

Sur le calcul différentiel

partial(f, x_1, x_2, ..., x_k)

la dérivée partielle \(\dfrac{\partial^k f}{\partial x_1 \partial x_2 \ldots \partial x_k}\). Si \(k=1\), on a \(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\).

Paramètres
  • f – une fonction

  • x_i – une variable

simula : f(x, y) = 2x*y^2- x^2+y^3

f = (x, y) |-----> -x^2 + 2*x*y^2 + y^3

simula : partial(f(x, y), x)

-2*x + 2*y^2

simula : partial(f(x, y), y)

4*x*y + 3*y^2

simula : partial(f(x, y), x, y)

4*y
fonctionGradient(f, X)

la fonction qui à \(X\) associe le gradient de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto G_f(X)\).

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : G = fonctionGradient( (x*y-3x, y^2-x), (x, y))

G = (x, y) |-----> matrice([[y - 3, -1], [x, 2*y]])

simula : G(x, y)

[y - 3    -1]
[ x      2*y]
fonctionJacobienne(f, X)

la fonction qui à \(X\) associe la matrice Jacobienne de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto J_f(X)\).

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : J = fonctionJacobienne( (x*y-3x, y^2-x), (x, y))

J = (x, y) |-----> matrice([[y - 3, x], [-1, 2*y]])

simula : J(x, y)

[y - 3      x]
[   -1    2*y]
fonctionHessienne(f, X)

la fonction qui à \(X\) associe la matrice hessienne de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto H_f(X)\).

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : H = fonctionHessienne(x*y-3x + y^2, (x, y))

H = (x, y) |-----> matrice([[0, 1], [1, 2]])

simula : H(x, y)

[0  1]
[1  2]

simula :  spectre(H(x, y))

{1 - racine(2), 1 + racine(2)}
pointsCritiques(f, X)

l’ensemble des points critiques de \(f(X)\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : pointsCritiques(x*y-3x + y^2, (x, y))

{(-6, 3)}
minimumLocaux(f, X)

l’ensemble des minimum locaux de \(f(X)\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)

f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)

simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}

simula : minimumLocaux(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (-1, -2)}
maximumLocaux(f, X)

l’ensemble des maximum locaux de \(f(X)\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)

f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)

simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}

simula : maximumLocaux(f(x, y), (x, y))

{(-1, 2), (1, -2)}
extremaLocaux(f, X)

l’ensemble des extrema locaux de \(f(X)\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)

f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)

simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}

simula : extremaLocaux(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (-1, 2), (1, -2), (-1, -2)}
pointsSelle(f, X)

l’ensemble des points selle de \(f(X)\)

Paramètres
  • f – une fonction

  • X – la liste des variable de la fonction

simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)

f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)

simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))

{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}

simula : pointsSelle(f(x, y), (x, y))

{(0, 0), (-2, 0), (2, 0), (0, 4), (0, -4)}

Sur les suites

suite(var, expr)

la suite qui à var associe expr i.e var |—–> exp

Paramètres
  • var – variable(s) de la suite

  • expr – expression de la suite

Exemple :

simula : U = suite(n, n^2+1)

U = n |-----> n^2 + 1

simula : U(n)

n^2 + 1

simula: U(-1)

Erreur

simula : V = suite(n, 2n)

V = n |-----> 2*n

simula : W = U + V

W = n |-----> n^2 + 2*n + 1
limiteSuite(U, n)

la limite de la suite \(U(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) i.e \(\lim_{n\to +\infty} U(n)\)

Paramètres
  • U – une suite ou l’expression d’une suite

  • n – une variable

Exemple :

simula : limiteSuite((n^2+1)/(2n^2-1), n)

1/2

simula : V = suite(n, 2n)

V = n |-----> 2*n

simula : limiteSuite(V)

+oo

Suites arithmétiques

Il y’a plusieurs manières de définir une suite arithmétique:

  1. On connaît que la raison \(r\):

    suiteArithmetique(r = raison)

    une suite arithmétique de raison \(r\).

    Paramètres

    r – la raison de la suite arithmétique

    Exemple :

    simula : U = suiteArithmetique(r=4)
    
    U = n |-----> a_p + 4*n - 4*p
    
  2. on connaît la raison \(r\) de la suite et un terme \(U(k) = U_k\) :

    suiteArithmetique((k, U_k), r = raison)

    une suite arithmétique \(U(n)\) de raison \(r\) vérifiant \(U(k) = U_{k}\).

    Paramètres
    • r – la raison de la suite arithmétique

    • k – un entier positif

    • U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)

    Exemple :

    simula : U = suiteArithmetique( (0, 2), r = 4)
    
    U = n |-----> 4*n + 2
    
  3. On connaît pas la raison mais on connaît deux termes de la suite :

    suiteArithmetique([(k1, U_k1), (k2, U_k2)])

    une suite suite arithmétique vérifiant avec \(U(k1) = U_{k1}\) et avec \(U(k2) = U_{k2}\)

    Paramètres
    • k1 – un entier positif

    • U_k1 – le k1-ième terme de la suite \(U(n)\)

    • k2 – un entier positif

    • U_k2 – le k2-ième terme de la suite \(U(n)\)

    Exemple :

    simula : U = suiteArithmetique( [(1, 2), (10, 65)])
    
    U = n |-----> 7*n - 5
    
    simula : U(n+1) - U(n)
    
    7
    

Suites géométriques

Il y’a plusieurs manières de définir une suite géométrique:

  1. On connaît que la raison \(q\):

    suiteGeometrique(q = raison)

    une suite arithmétique de raison \(q\).

    Paramètres

    q – la raison de la suite géométrique

    Exemple :

    simula : U = suiteGeometrique( q = 4)
    
    U = n |-----> 4^(n - p)*a_p
    
  2. on connaît la raison \(q\) de la suite et un terme \(U(k) = U_k\) :

    suiteGeometrique((k, U_k), q = raison)

    une suite géométrique \(U(n)\) de raison \(q\) avec \(U(k) = U_k\).

    Paramètres
    • r – la raison de la suite géométrique

    • k – un entier positif

    • U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)

    Exemple :

    simula : U = suiteGeometrique( (0, 2), q = 5)
    
    U = n |-----> 2*5^n
    
  3. On connaît pas la raison mais on connaît deux termes de la suite :

    suiteGeometrique([(k1, U_k1), (k2, U_k2)])

    une suite suite géométrique vérifiant avec \(U(k1) = U_{k1}\) et avec \(U(k2) = U_{k2}\)

    Paramètres
    • k1 – un entier positif

    • U_k1 – le k1-ième terme de la suite \(U(n)\)

    • k2 – un entier positif

    • U_k2 – le k2-ième terme de la suite \(U(n)\)

    Exemple :

    simula : U = suiteGeometrique( [(0, 2), (3, 54)])
    
    U = n |-----> 2*3^n
    
    simula : simplifier(U(n+1) / U(n))
    
    3
    

Suites arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique est une suite \(U(n)\) vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\) avec \(a\) et \(b\) des constantes.

  1. Si on connaît que les constantes \(a\) et \(b\):

    suiteArithmeticoGeometrique(a, b)

    une suite arithmético-géométrique vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\).

    Paramètres
    • a – un réel

    • b – un réel

    Exemple :

    simula : U = suiteArithmeticoGeometrique(2, 3)
    
    U = n |-----> 2^n*C0 - 3
    
  1. Si on connaît les constantes \(a\) et \(b\) et un terme de la suite:

    suiteArithmeticoGeometrique(a, b, (k, U_k))

    une suite arithmético-géométrique vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\).

    Paramètres
    • a – un réel

    • b – un réel

    • k – un entier positif

    • U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)

    Exemple :

    simula : U = suiteArithmeticoGeometrique(2, 3, (1, 1))
    
    U = n |-----> 2*2^n - 3