Opérations sur les fonctions et suites¶
Sur les fonctions¶
-
fonction(var, expr)¶ la fonction qui à var associe expr i.e var |—–> exp
- Paramètres
var – variable(s) de la fonction
expr – expression de la fonction
Exemple :
simula : f = fonction(x, x^2+2x+1)
f = x |-----> x^2 + 2*x + 1
simula : g = fonction((x, y), x + y + 1)
g = (x, y) |-----> x + y + 1
# On peut aussi simplifier la saisie d'une fonction
simula : h(x) = 2x + exp(x)
h = x |-----> 2*x + exp(x)
simula : h(3x)
6*x + exp(3*x)
Note
On peut aussi faire des opérations sur les fonctions.
Exemple :
simula : f(x) = x^2 ; g(x) = 2x+1; h = f - g
h = x |-----> x^2 - 2*x - 1
-
deriver(f, var)¶ la fonction dérivée de \(f\) suivant \(x\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre deriver(f).
- Paramètres
f – une fonction
var – une variable
Exemple :
simula : deriver(cos(x))
-sin(x)
simula : deriver(a*x^2+b*x+exp(x), x) # dérivée par rapport à x
2*a*x + b + exp(x)
-
primitive(f, var)¶ la primitive de \(f\) suivant \(x\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre primitive(f).
- Paramètres
f – une fonction
var – une variable
Exemple :
simula : primitive(sin(x))
-cos(x)
simula : primitive(exp(x)+2x, x)
x^2 + exp(x)
-
integrer(f, x, (x, a, b))¶ détermine l’intégrale \(\int_a^b f(x) dx\)
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
a – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
b – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
Exemple :
simula : integrer(exp(-x^2), (x, 0, +oo))
racine(pi)/2
simula : integrer(x^2+2x, (x, a, 2a))
7*a^3/3 + 3*a^2
-
limite(f, x->x0) ou limite(f, x, x0)¶ la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0} f\)
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
Exemple :
simula : limite(sin(x)/x, x->0)
1
-
limiteDroite(f, x->x0) ou limiteDroite(f, x, x0)¶ la limite à droite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0, x>x_0} f\)
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
Exemple :
simula : limiteDroite(1/x, x->0)
oo
-
limiteGauche(f, x->x0) ou limiteGauche(f, x, x0)¶ la limite à droite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) i.e \(\lim_{x\to x_0, x<x_0} f\)
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
Exemple :
simula : limiteGauche(1/x, x->0)
-oo
-
developper(f)¶ le développement de \(f\).
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : developper((2x-1)(x^2+3))
2*x^3 - x^2 + 6*x - 3
-
developperTrigo(f)¶ le développement d’une fonction trigonométrique \(f\).
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : developperTrigo(cos(x + y))
-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)
-
simplifier(f)¶ la simplification de \(f\).
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : simplifier((x^2-2x+1)/(x-1))
x - 1
-
simplifierTrigo(f)¶ la simplification (pour une fonction trigonométrique) \(f\).
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : simplifierTrigo(sin(x)/cos(x))
tan(x)
-
factoriser(f)¶ la factorisation de la fonction \(f\).
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : factoriser(x^2+2x+1)
(x + 1)^2
-
diviser(f, g)¶ la division de la fonction \(f\) par \(g\).
- Paramètres
f – une fonction
g – une fonction
Exemple :
simula : diviser(x^2 + 2x + 1, x + 1)
(x + 1, 0)
-
racines(f, var)¶ les racines (zéros) de \(f(var)\). S’il y’a pas d’ambiguité, on peut juste mettre racines(f).
- Paramètres
f – une fonction
var – une variable
Exemple :
simula : racines(x^2+2x+1)
{-1: 2}
-
racineCarree(f) ou racine(f)¶ la racine carrée de la fonction \(f\) i.e \(\sqrt{f}\)
- Paramètres
f – une fonction
Exemple :
simula : racineCarree(4x)
2*racine(x)
simula : x = variable("x", RR, "+") ; racine(16x^2)
4*x
-
taylor(f, x, x0, ordre)¶ le développement limité de \(f(x)\) en \(x_0\) à l’ordre indiqué
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
ordre – un nombre
Exemple :
simula : taylor(cos(x), x, 0, 7)
1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + O(x^7)
simula : taylor(log(1+x), x, 0)
x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + O(x^6)
Note
Pour le développement limité d’une fonction, vous pouvez omettre l’ordre. Dans ce cas, l’ordre sera celui par défaut.
-
polynomeTaylor(f, x, x0, ordre)¶ le développement limité de \(f(x)\) en \(x_0\) tronqué à l’ordre indiqué.
- Paramètres
f – une fonction
x – une variable
x0 – un nombre ou « oo » pour \(+\infty\) ou « -oo » pour \(-\infty\).
ordre – un nombre
Exemple :
simula : polynomeTaylor(cos(x), x, 0, 7)
-x^6/720 + x^4/24 - x^2/2 + 1
simula : polynomeTaylor(log(1+x), x, 0)
x^5/5 - x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 + x
Sur le calcul différentiel¶
-
partial(f, x_1, x_2, ..., x_k)¶ la dérivée partielle \(\dfrac{\partial^k f}{\partial x_1 \partial x_2 \ldots \partial x_k}\). Si \(k=1\), on a \(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\).
- Paramètres
f – une fonction
x_i – une variable
simula : f(x, y) = 2x*y^2- x^2+y^3
f = (x, y) |-----> -x^2 + 2*x*y^2 + y^3
simula : partial(f(x, y), x)
-2*x + 2*y^2
simula : partial(f(x, y), y)
4*x*y + 3*y^2
simula : partial(f(x, y), x, y)
4*y
-
fonctionGradient(f, X)¶ la fonction qui à \(X\) associe le gradient de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto G_f(X)\).
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : G = fonctionGradient( (x*y-3x, y^2-x), (x, y))
G = (x, y) |-----> matrice([[y - 3, -1], [x, 2*y]])
simula : G(x, y)
[y - 3 -1]
[ x 2*y]
-
fonctionJacobienne(f, X)¶ la fonction qui à \(X\) associe la matrice Jacobienne de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto J_f(X)\).
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : J = fonctionJacobienne( (x*y-3x, y^2-x), (x, y))
J = (x, y) |-----> matrice([[y - 3, x], [-1, 2*y]])
simula : J(x, y)
[y - 3 x]
[ -1 2*y]
-
fonctionHessienne(f, X)¶ la fonction qui à \(X\) associe la matrice hessienne de \(f\) en \(X\) i.e \(X\mapsto H_f(X)\).
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : H = fonctionHessienne(x*y-3x + y^2, (x, y))
H = (x, y) |-----> matrice([[0, 1], [1, 2]])
simula : H(x, y)
[0 1]
[1 2]
simula : spectre(H(x, y))
{1 - racine(2), 1 + racine(2)}
-
pointsCritiques(f, X)¶ l’ensemble des points critiques de \(f(X)\)
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : pointsCritiques(x*y-3x + y^2, (x, y))
{(-6, 3)}
-
minimumLocaux(f, X)¶ l’ensemble des minimum locaux de \(f(X)\)
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)
f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)
simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}
simula : minimumLocaux(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (-1, -2)}
-
maximumLocaux(f, X)¶ l’ensemble des maximum locaux de \(f(X)\)
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)
f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)
simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}
simula : maximumLocaux(f(x, y), (x, y))
{(-1, 2), (1, -2)}
-
extremaLocaux(f, X)¶ l’ensemble des extrema locaux de \(f(X)\)
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)
f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)
simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}
simula : extremaLocaux(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (-1, 2), (1, -2), (-1, -2)}
-
pointsSelle(f, X)¶ l’ensemble des points selle de \(f(X)\)
- Paramètres
f – une fonction
X – la liste des variable de la fonction
simula : f(x, y) = x*y*(4*x^2 + y^2-16)
f = (x, y) |-----> x*y*(4*x^2 + y^2 - 16)
simula : pointsCritiques(f(x, y), (x, y))
{(1, 2), (0, 0), (-2, 0), (-1, -2), (-1, 2), (2, 0), (0, 4), (1, -2), (0, -4)}
simula : pointsSelle(f(x, y), (x, y))
{(0, 0), (-2, 0), (2, 0), (0, 4), (0, -4)}
Sur les suites¶
-
suite(var, expr)¶ la suite qui à var associe expr i.e var |—–> exp
- Paramètres
var – variable(s) de la suite
expr – expression de la suite
Exemple :
simula : U = suite(n, n^2+1)
U = n |-----> n^2 + 1
simula : U(n)
n^2 + 1
simula: U(-1)
Erreur
simula : V = suite(n, 2n)
V = n |-----> 2*n
simula : W = U + V
W = n |-----> n^2 + 2*n + 1
-
limiteSuite(U, n)¶ la limite de la suite \(U(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) i.e \(\lim_{n\to +\infty} U(n)\)
- Paramètres
U – une suite ou l’expression d’une suite
n – une variable
Exemple :
simula : limiteSuite((n^2+1)/(2n^2-1), n)
1/2
simula : V = suite(n, 2n)
V = n |-----> 2*n
simula : limiteSuite(V)
+oo
Suites arithmétiques¶
Il y’a plusieurs manières de définir une suite arithmétique:
On connaît que la raison \(r\):
-
suiteArithmetique(r = raison)¶ une suite arithmétique de raison \(r\).
- Paramètres
r – la raison de la suite arithmétique
Exemple :
simula : U = suiteArithmetique(r=4) U = n |-----> a_p + 4*n - 4*p
-
on connaît la raison \(r\) de la suite et un terme \(U(k) = U_k\) :
-
suiteArithmetique((k, U_k), r = raison) une suite arithmétique \(U(n)\) de raison \(r\) vérifiant \(U(k) = U_{k}\).
- Paramètres
r – la raison de la suite arithmétique
k – un entier positif
U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)
Exemple :
simula : U = suiteArithmetique( (0, 2), r = 4) U = n |-----> 4*n + 2
-
On connaît pas la raison mais on connaît deux termes de la suite :
-
suiteArithmetique([(k1, U_k1), (k2, U_k2)]) une suite suite arithmétique vérifiant avec \(U(k1) = U_{k1}\) et avec \(U(k2) = U_{k2}\)
- Paramètres
k1 – un entier positif
U_k1 – le k1-ième terme de la suite \(U(n)\)
k2 – un entier positif
U_k2 – le k2-ième terme de la suite \(U(n)\)
Exemple :
simula : U = suiteArithmetique( [(1, 2), (10, 65)]) U = n |-----> 7*n - 5 simula : U(n+1) - U(n) 7
-
Suites géométriques¶
Il y’a plusieurs manières de définir une suite géométrique:
On connaît que la raison \(q\):
-
suiteGeometrique(q = raison)¶ une suite arithmétique de raison \(q\).
- Paramètres
q – la raison de la suite géométrique
Exemple :
simula : U = suiteGeometrique( q = 4) U = n |-----> 4^(n - p)*a_p
-
on connaît la raison \(q\) de la suite et un terme \(U(k) = U_k\) :
-
suiteGeometrique((k, U_k), q = raison) une suite géométrique \(U(n)\) de raison \(q\) avec \(U(k) = U_k\).
- Paramètres
r – la raison de la suite géométrique
k – un entier positif
U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)
Exemple :
simula : U = suiteGeometrique( (0, 2), q = 5) U = n |-----> 2*5^n
-
On connaît pas la raison mais on connaît deux termes de la suite :
-
suiteGeometrique([(k1, U_k1), (k2, U_k2)]) une suite suite géométrique vérifiant avec \(U(k1) = U_{k1}\) et avec \(U(k2) = U_{k2}\)
- Paramètres
k1 – un entier positif
U_k1 – le k1-ième terme de la suite \(U(n)\)
k2 – un entier positif
U_k2 – le k2-ième terme de la suite \(U(n)\)
Exemple :
simula : U = suiteGeometrique( [(0, 2), (3, 54)]) U = n |-----> 2*3^n simula : simplifier(U(n+1) / U(n)) 3
-
Suites arithmético-géométriques¶
Une suite arithmético-géométrique est une suite \(U(n)\) vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\) avec \(a\) et \(b\) des constantes.
Si on connaît que les constantes \(a\) et \(b\):
-
suiteArithmeticoGeometrique(a, b)¶ une suite arithmético-géométrique vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\).
- Paramètres
a – un réel
b – un réel
Exemple :
simula : U = suiteArithmeticoGeometrique(2, 3) U = n |-----> 2^n*C0 - 3
-
Si on connaît les constantes \(a\) et \(b\) et un terme de la suite:
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suiteArithmeticoGeometrique(a, b, (k, U_k)) une suite arithmético-géométrique vérifiant \(U(n+1) = a U(n) + b\).
- Paramètres
a – un réel
b – un réel
k – un entier positif
U_k – le k-ième terme de la suite \(U(n)\)
Exemple :
simula : U = suiteArithmeticoGeometrique(2, 3, (1, 1)) U = n |-----> 2*2^n - 3
-