Opérations sur les nombres¶

Opérations de base¶

valeurAbsolue(x) ou abs(x)¶

la valeur absolue de \(x\)

Paramètres: a – un nombre

Exemple :

simula : valeurAbsolue( racine(2) - 1 )

-1 + racine(2)

partieEntiere(x) ou E(x)¶

la partie entière de \(x\)

Paramètres: x – un nombre

Exemple :

simula : partieEntiere( racine(2) + 1 )

2

logb(a, b)¶

le logarithme de \(a\) en base \(b\) i.e \(\dfrac{\ln(a)}{\ln(b)}\)

Paramètres

a – un nombre
b – un nombre

Exemple :

simula : log(3, e)

ln(3)

simula : log(4, 3)

ln(4)/ln(3)

radians(x)¶

la conversion d’un nombre (en degrés) \(x\) en radians

Paramètres: x – un nombre

Exemple :

simula : radians(60)

pi/3

simula : radians(180)

pi

degres(x)¶

la conversion d’un nombre (en radians) \(x\) en dégrés

Paramètres: x – un nombre

Exemple :

simula : degres(pi/2)

90

simula : degres(pi/5)

36

Voir aussi

fonction radians()

euclideEtendu(a, b)¶

renvoie trois entiers \(x, y\) et \(d\) tels que \(ax+by=d\) avec \(d=\mathrm{pgcd}(a,b)\)

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : euclideEtendu(3, 7)

((-2, 1), 1)

simula : euclideEtendu(12, 36)

((1, 0), 12)

inverseModulo(a, b)¶

l’inverse de \(a\) modulo \(b\). L’entier \(a\) doit être premier avec \(b\).

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : inverseModulo(3, 7)

5

simula : inverseModulo(4, 5)

4

nCk(n, k)¶

le coefficient binomial \(C_n^k = \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{(n-k)! k!}\).

Paramètres

n – un entier
k – un entier

Exemple :

simula : nCk(7, 2)

21

simula : nCk(n, 1)

factorielle(n)/factorielle(n - 1)

nAk(n, k)¶

le nombre de k-arrangement dans n i.e \(A_n^k =\dfrac{n!}{(n-k)!}\).

Paramètres

n – un entier
k – un entier

Exemple :

simula : nAk(7, 5)

2520

simula : nAk(n, n)

factorielle(n)

Voir aussi

fonction nCk()

pgcd(a, b)¶

le plus grand commun diviseur à \(a\) et \(b\).

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : pgcd(6, 20)

60

simula : pgcd(3, 5)

15

Voir aussi

fonction ppcm()

ppcm(a, b)¶

le plus petit multiple commun à \(a\) et \(b\).

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : ppcm(6, 20)

60

simula : ppcm(3, 5)

15

Voir aussi

fonction pgcd()

estPremier(n)¶

renvoie “OUI” si n est premier et “NON” dans le cas contraire.

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : estPremier(11)

Oui

simula : estPremier(20)

Non

aleaPremier(a, b)¶

renvoie aléatoirement un nombre premier p tel que \(a\leq p \leq b\).

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : aleaPremier(6, 20)

7

simula : aleaPremier(0, 100)

89

aleaEntier(a, b)¶

renvoie aléatoirement un nombre entier n tel que \(a\leq n \leq b\).

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : aleaEntier(6, 20)

12

premierSuivant(n)¶

l’entrier premier qui vient après n.

Paramètres: n – un entier naturel

Exemple :

simula : premierSuivant(6)

7

simula : premierSuivant(20)

23

Voir aussi

fonction premierPrecedent()

premierPrecedent(n)¶

l’entrier premier qui vient avant n.

Paramètres: n – un entier naturel

Exemple :

simula : premierPrecedent(4)

3

simula : premierPrecedent(20)

19

Voir aussi

fonction premierSuivant()

racine(a)¶

la racine carrée de \(a\) i.e \(\sqrt{a}\)

Paramètres: a – un nombre réel

Exemple :

simula : racine(4)

2

simula : racine(20)

2*racine(5)

premierPosition(n)¶

le nombre premier qui est à la position \(n\) dans la liste des nombres premiers ordonnés dans l’ordre croissant.

Paramètres: n – un entier naturel

Exemple :

simula : premierPosition(5)

11

simula : premiersPi(2)

1

premiersPi(x)¶

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égals à \(x\)

Paramètres: x – un nombre réel

Exemple :

simula : premiersPi(10)

 4

 simula : premiersPi(23.5)

 9

facteursPremiers(n)¶

l’ensemble des facteurs premiers de n.

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : facteursPremiers(20)

[2, 5]

simula : facteursPremiers(34)

[2, 17]

Voir aussi

fonction listeNombresPremiers()

listeNombresPremiers(a, b)¶

la liste des nombres premiers compris entre a et b.

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : listeNombresPremiers(1,10)

(2, 3, 5, 7)

simula : listeNombresPremiers(20, 41)

(23, 29, 31, 37, 41)

Voir aussi

fonctions facteursPremiers(), premiersPi()

nombreDiviseurs(n)¶

le nombre de diviseurs de \(n\)

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : nombreDiviseurs(24)

8

simula : nombreDiviseurs(10)

4

listeDiviseurs(n)¶

la liste des diviseurs de \(n\)

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : listeDiviseurs(24)

[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]

simula : listeDiviseurs(10)

[1, 2, 5, 10]

Voir aussi

fonction nombreDiviseurs()

decomposerEntier(n)¶

la decomposition de \(n\) en produit de facteurs premiers

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : decomposerEntier(24)

2^3 x 3^1

simula : decomposerEntier(100)

 2^2 x 5^2

Voir aussi

fonction listeDiviseurs()

factorielle(n)¶

la factorielle de \(n\)

Paramètres: n – un entier naturel

Exemple :

simula : factorielle(4)

24

simula : factorielle(0)

1

signe(a)¶

le signe de \(a\). Il est égal à \(1\) si \(a>0\), \(-1\) si \(a<0\) et \(0\) si \(a=0\).

Paramètres: a – un nombre réel

Exemple :

simula : signe(-4)

-1

simula : signe(racine(11)-4)

-1

fraction(a, b)¶

renvoie la fraction rationnelle \(\dfrac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers

Paramètres

a – un entier
b – un entier

Exemple :

simula : fraction(2, 3)

2/3

simula : fraction(1, 2) + fraction(4, 5)

13/10

somme(f, (k, min, max))¶

la somme des \(f(k)\), k allant de min à max i.e \(\displaystyle \sum_{k=\mathrm{min}}^{\mathrm{max}} f(k)\)

Paramètres

f – une fonction (dépendant de k)
k – une variable
min – un entier
max – un entier

Exemple :

simula : somme(k, (k, 1, n) )

n^2/2 + n/2

simula : n = variable('n', NN, paire) # On déclare que n est un entier naturel pair.
simula : somme((-1)^k, (k, 1, n) )

0

Voir aussi

fonction produit()

produit(f, (k, min, max))¶

le produit des \(f(k)\), k allant de min à max i.e \(\displaystyle \prod_{k=\mathrm{min}}^{\mathrm{max}} f(k)\)

Paramètres

f – une fonction (dépendant de k)
k – une variable
min – un entier
max – un entier

Exemple :

simula : produit(k, (k, 1, n) )

factorielle(n)

Voir aussi

fonction somme()

Les nombres complexes¶

complexe(a, b)¶

le nombre complexe \(a+b*i\)

Paramètres

a – un réel
b – un réel

Exemple :

simula : complexe(2, -1) # 2-i

2 - i

conjugue(z)¶

le conjugué du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : conjugue(1+i)

1 - i

partieImaginaire(z)¶

la partie imaginaire du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : partieImaginaire(1+2i)

2

Voir aussi

fonction partieReelle()

partieReelle(z)¶

la partie réelle du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : partieReelle(1+2i)

1

Voir aussi

fonction partieImaginaire()

argument(z)¶

l’argument du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : argument(1-i)

-pi/4

module(z)¶

le module du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : module(4+3i)

5

formeTrigo(z)¶

la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : formeTrigo(1-i)

racine(2)(cos(-pi/4)+i*sin(-pi/4))

Voir aussi

fonctions formeAlg(), formeExp()

formeExp(z)¶

la forme exponentielle du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : formeExp(1-i)

racine(2)*exp(-i*pi/4)

formeAlg(z)¶

la forme algébrique du nombre complexe \(z\)

Paramètres: z – un nombre complexe

Exemple :

simula : formeAlg( (1-i)/(2+3i) )

-1/13 - 5*i/13

Voir aussi

fonctions formeAlg(), formeTrigo()

Trigonométrie¶

La plus part des fonctions trigonométriques classiques sont définies : \(\cos, \sin, \tan, \arcsin, \arccos, \sinh, \tanh\) etc.

Exemple :

simula : sin(pi/4)-cos(3pi/4)

racine(2)

Fonctions avancées:¶

modulo(a, b)¶

le reste de la division de \(a\) par \(b\) i.e \(a\ \mathrm{mod}\ b\).

Paramètres

a – un entier
p – un nombre premier

Exemple :

simula : modulo(12, 5)

2

simula : modulo(124, 7)

5

ordreModulo(a, b) %

l’ordre de \(a\) modulo \(b\).

Paramètres

a – un nombre
b – un entier

Exemple :

simula : ordreModulo(4, 5)

2

simula : ordreModulo(3, 7)

6

Voir aussi

fonction racineCarreeModulo()

racineCarreeModulo(a, p)¶

la racine carrée de \(a\) modulo \(p\) (si elle existe).

Paramètres

a – un entier
p – un nombre premier

Exemple :

simula : racineCarreeModulo(3, 11)

5

simula : racineCarreeModulo(4, 5)

2

estRacinePrimitive(a, p)¶

renvoie “OUI” si \(a\) est racine primitive de \(p\) et “NON” dans le cas contraire.

Paramètres

a – un entier
p – un nombre premier

Exemple :

simula : estRacinePrimitive(10, 11)

Non

simula : estRacinePrimitive(3, 5)

Oui

racinePrimitiveModulo(n)¶

renvoie la plus petite racine primitive modulo \(n\) (si elle existe).

Paramètres: n – un entier

Exemple :

simula : racinePrimitiveModulo(11)

2

simula : racinePrimitiveModulo(7)

3

estResidueQuadratique(a, p)¶

renvoie “OUI” si \(a\) est résidu quadratique dans \(\mathbb{F}_p\) et “NON” dans le cas contraire.

Paramètres

a – un entier
p – un nombre premier

Exemple :

simula : estResidueQuadratique(3, 11)

Oui

simula : estResidueQuadratique(3, 7)

Non

Voir aussi

fonction listeResiduesQuad()

listeResiduesQuad(p)¶

la liste des résidus quadratiques dans \(\mathbb{F}_p\).

Paramètres: p – un nombre premier

Exemple :

simula : listeResiduesQuad(11)

[0, 1, 3, 4, 5, 9]

simula : listeResiduesQuad(7)

[0, 1, 2, 4]

symboleLegendre(a, p)¶

le symbole de Legendre \(\begin{pmatrix} \dfrac{a}{p}\end{pmatrix}\). Il est égal à \(0\) si \(a\) est multiple de \(p\) , \(1\) si \(a\) est résidue quadratique dans \(\mathbb{F}_p\) et \(-1\) dans le cas contraire.

Paramètres

a – un entier
p – un nombre premier

Exemple :

simula : symboleLegendre(2, 11)

-1

simula : symboleLegendre(3, 7)

-1

Voir aussi

fonction symboleJacobi()

symboleJacobi(m, n)¶

le symbole de Jacobi \(\begin{pmatrix} \dfrac{m}{n}\end{pmatrix}\)

Paramètres

m – un entier
n – un entier

Exemple :

simula : symboleJacobi(2, 15)

1

simula : symboleJacobi(3, 7)

-1

Voir aussi

fonction symboleLegendre()