Statisque inferentielle

La statistique inferentielle consiste a faire des inferences (generalisations) sur la population a partir d’ echantillons. Simulamath vous offre l’implementation des tests d’hypothèses et l’estimation par intervalle de confiance.

Les exemples dans cette section viennent du live Elementary Statistics, A step by step approach, 8th Edition, par Professeur Allan G. Bluman

Comment aller à la section statistique inferentielle

L’image ci-dessous presente la page d’acceuil de Simulamath

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Cliquer sur Statistique (juste poser le curseur sans cliquer est suffisant)

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Ensuite vous pourrez choisir/cliquer le thème en statistique qui vous concerne dans notre cas présent, Statistique inférentielle.

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Estimation par intervalle de confiance

Z-Estimation de moyenne (écart type connu)

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour Z-Estimation de moyenne est:

\[\bar{X} - z_{lpha / 2}\bigg(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigg) < \mu < \bar{X} + z_{lpha / 2}\bigg(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigg)\]

Exemple:

Une enquête menée auprès de 30 patients aux urgences a révélé que le temps d’attente moyen pour un traitement était d

Solution:

La meilleure estimation ponctuelle de la moyenne est 174,3 minutes. l’intervalle de confiance à 99% de la moyenne de la population est donnée par

\[174.3 - 2.58\bigg(\dfrac{46.5}{\sqrt{30}}\bigg) < \mu < 174.3 + 2.58\bigg(\dfrac{46.5}{\sqrt{30}}\bigg)\]
\[152.4 < \mu < 196.2\]

Par conséquent, on peut être sûr à 99% que le temps d’attente moyen pour les urgences le traitement dure entre 152,4 et 196,2 minutes.

Z-Estimation de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation de moyenne

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Saisir les variables (Niveau de confiance, Moyenne de l’échantillon , Écart type de la population , Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite.

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Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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Z-Estimation, difference de moyenne

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour Z-Estimation différence de moyenne est :

\[(\bar{X_1} - \bar{X_2}) - z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}} < \mu_1 - \mu_2 < (\bar{X_1} - \bar{X_2}) + z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}\]

Exemple:

Une enquête a révélé que le tarif moyen d’une chambre d’hôtel à la Nouvelle-Orléans est de 88,42 dollars et le tarif moyen d’une chambre à Phoenix est de 80,61 dollars. Supposons que les données proviennent de deux échantillons de 50 hôtels chacun et que les écarts-types des populations sont respectivement de 5,62 dollars et 4,83 dollars. Avec , peut-on conclure qu’il y a une différence significative dans les taux? Trouvez l’intervalle de confiance à 95% pour la différence entre les moyennes de ces données.

Solution:

\[88.42 - 80.61) - 1.96\sqrt{\dfrac{5.62^2}{50}+\dfrac{4.83^2}{50}} < \mu_1 - \mu_2 < (88.42 - 80.61) + 1.96\sqrt{\dfrac{5.62^2}{50}+\dfrac{4.83^2}{50}}\]
\[5.76 < \mu_1 - \mu_2 < 9.86\]

Puisque l’intervalle de confiance ne contient pas zéro, la décision est de rejeter l’hypothèse nulle

Z-Estimation, difference de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation, difference de moyenne

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Saisir les varibles (Niveau de confiance, Moyenne de l’échantillon , Écart type de la population , Taille de l’échantillon ) dans le panel en haut à droite pour les deux échantillons (Échantillon 1 et Échantillon 2)

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Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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Z-Estimation de Proportion

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour Z-Estimation de Proportion est :

\[\hat{p} - z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} < p < \hat{p} + z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\]

Avec \(\quad \hat{p} = \dfrac{X}{n} \quad \quad \hat{q} = 1 - p\)

On suppose que pour ce test:

  1. On a un échantillon aléatoire.

  2. Les conditions pour une expérience binomiale sont remplies.

  3. \(n_{p} \geq 5\) et \(n_{q} \geq 5\).

Exemple:

Une enquête menée par Sallie Mae et Gallup auprès de 1404 répondants a révélé que 323 étudiants ont payé leurs études par des prêts étudiants. Trouvez l’intervalle confiance de 90% de la vraie proportion d’étudiants qui ont payé leurs études par des prêts étudiants.

Solution:

Vue que \(\alpha = 1- 0,90 = 0,10\) et \(z_{\alpha /2}=1,65\)

En remplaçant dans la formule suivante

\[0.23 - 1.65\sqrt{\dfrac{0.23*0.77}{1404}} < p < 0.23 + \sqrt{\dfrac{0.23*0.77}{1404}},\]

Avec \(\hat{p} = \dfrac{323}{1404} = 0,23\) et \(\hat{q} = 1 - p =0.,77\)

Alors

\[0.211 < p < 0.249\]

Z-Estimation de proportion dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation de proportion

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Saisir les varibles (Niveau de confiance, nombre de succès, Taille de l’échantillon ) dans le panel en haut à droite.

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Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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Z-Estimation, difference de Proportion

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour Z-Estimation différence de proportion est :

\[(\hat{p_1} - \hat{p_2}) - z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_1}+\dfrac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_2}} < p_1 - p_2 < (\hat{p_1} - \hat{p_2}) + z_{lpha / 2}\sqrt{\dfrac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_1}+\dfrac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_2}}\]

Exemple:

Les chercheurs ont constaté que 12 des 34 petites maisons de soins infirmiers avaient un taux de vaccination des résidents de moins de 80%, tandis que 17 des 24 grandes maisons de soins infirmiers avaient un taux de vaccination de moins de 80%. Avec \(\alpha=0.05\), testez l’affirmation selon laquelle il n’y a pas de différence dans les proportions des petites et grandes maisons de soins infirmiers avec un taux de vaccination des résidents de moins de 80%. Trouvez l’intervalle de confiance à 95% pour ces données.

Solution:

En remplaçant dans la formule suivante

\[(0.35 - 0.71) - 1.96\sqrt{\dfrac{0.35*0.65}{34}+\dfrac{0.71*0.29}{24}} < p_1 - p_2 < (0.35 - 0.71) + 1.96\sqrt{\dfrac{0.35*0.65}{34}+\dfrac{0.71*0.29}{24}}\]
\[-0.602 < p_1 - p_2 < -0.118\]

Puisque l’intervalle de confiance ne contient pas zéro, la décision est de rejeter l’hypothèse nulle \(H_0 : p_1 = p_2\) .

Z-Estimation, difference de Proportion dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation, difference de Proportion

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Saisir les varibles (Niveau de confiance, nombre de succès, Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite.

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Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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T-Estimation de moyenne (écart type inconnu)

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour T-Estimation de moyenne est :

\[\bar{X} - t_{lpha / 2}\bigg(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\bigg) < \mu < \bar{X} + t_{lpha / 2}\bigg(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\bigg)\]

On suppose que pour ce test:

  1. On a un échantillon aléatoire.

  2. Soit \(n \geq 30\) soit la population est normalement distribuée si math:n < 30.

Exemple:

On a demandé à dix personnes sélectionnées au hasard combien de temps elles dormaient la nuit. La durée moyenne était de 7,1 heures et l’écart type de 0,78 heure. Trouvez l’intervalle de confiance à 95% du temps moyen. Supposons que la variable est normalement distribuée.

Puisque \(\sigma\) est inconnu et \(s\) que doit le remplacer, la distribution \(t\) (table F) doit être utilisée pour l’intervalle de confiance. Donc, avec 9 degrés de liberté \(t_{\alpha / 2} = 2.262\). L’intervalle de confiance à 95% peut être trouvé en remplaçant dans la formule.

\[7.1 - 2.262\bigg(\dfrac{0.78}{\sqrt{10}}\bigg) < \mu < 7.1 + 2.262\bigg(\dfrac{0.78}{\sqrt{10}}\bigg)\]
\[6.54 < \mu < 7.66\]

Par conséquent, on peut être sûr à 90% que la moyenne de la population est entre 6,54 et 7,66 heures.

T-Estimation de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici T-Estimation de moyenne

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Saisir les variables (Niveau de confiance, Moyenne de l’échantillon , Écart type de l’échantillon , Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite pour les deux échantillons.

../_images/t-est-mean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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T-Estimation, difference de moyenne

La formule pour obtenir l’intervalle de confiance pour Z-Estimation différence de moyenne est ;

\[(\bar{X_1} - \bar{X_2}) - t_{\alpha / 2}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}} < \mu_1 - \mu_2 < (\bar{X_1} - \bar{X_2}) + t_{\alpha / 2}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}\]

Exemple:

La taille moyenne d’une ferme dans le ville de Thies, au Senegal, est de 191 \(m^2\). La taille moyenne d’une ferme dans la ville de Mbour, au Senegal, est de 199 \(m^2\). Supposons que les données ont été obtenues à partir de deux échantillons avec des écarts types de 38 et 12 \(m^2\), respectivement, et d’échantillon de tailles de 8 et 10, respectivement. Peut-on conclure avec \(lpha=0.05\) que la taille moyenne des exploitations dans les deux villes est différente? Supposons que les populations soient normalement réparties. Solution:

En remplaçant dans la formule suivante

\[(191 - 199) - 2.365\sqrt{\dfrac{38^2}{8}+\dfrac{12^2}{10}} < \mu_1 - \mu_2 < (191 - 199) + 2.365\sqrt{\dfrac{38^2}{8}+\dfrac{12^2}{10}}\]
\[-41.02 < \mu_1 - \mu_2 < 25.02\]

Puisque l’intervalle de confiance contient zéro, la décision est de ne rejeter pas l’hypothèse nulle \(H_0 : \mu_1 = \mu_2\).

T-Estimation, Difference of Means in Simulamath

T-Estimation, difference de moyennes dans SimulaMath

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Saisir les variables (Niveau de confiance, nombre de succès, Taille de l’échantillon) pour chaque échantillons dans le panel en haut à droite.

../_images/t-est-diffmean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

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Test d’hypothèses

Z-Test de moyenne

La formule pour le Z-Test de moyenne est :

\[z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

Hypothèses pour le z-test pour une moyenne lorsque :math:sigma est connu

  1. On a un échantillon aléatoire.

  2. Soit \(n \geq30\) soit la population est normalement distribuée si \(n < 30\).

Exemple:

Un chercheur souhaite voir si le nombre moyen de jours pendant lesquels une petite automobile basique à bas prix se trouve sur le terrain d’un concessionnaire est de 29. Un échantillon de 30 concessionnaires automobiles a une moyenne de 30,1 jours pour les petites automobiles basiques à bas prix. Avec \(\alpha=0.05\), testez l’affirmation selon laquelle le temps moyen est supérieur à 29 jours. L’écart type de la population est 3,8 jours.

Solution:

Etape 1: Enoncer les hypothèses et identifier la revendication des moyennes.

\[H_0: \mu = 29 \quad \text{et} \quad H_1: \mu > 29 \text{(revendication)}\]

Etape 2: Trouvez la valeur critique. Étant donné que \(\alpha=0.05\) et que le test est un test unilatéralement, la valeur critique est \(z = +1.65\).

Etape 3: Calculer la valeur de test.

\[z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]
\[z = \dfrac{30.1 - 29}{\frac{3.8}{\sqrt{3}}} = 1.59\]

Etape 4: Decider. Puisque la valeur de test, 1,59, est inférieure à la valeur critique, 1,65, et n’est pas dans la région critique, la décision est de ne pas rejeter l’hypothèse nulle.

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Etape 5: Résumez les résultats. Il n’y a pas suffisamment de preuves pour étayer l’affirmation selon laquelle le délai moyen est supérieur à 29 jours.

Z-Test de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-test de moyenne

../_images/z-test-mean1.fr.png

Saisir les varibles (Hypothèse nulle , Hypothèse alternative, Valeur de Alpha , Moyenne de l’échantillon , Écart type de la population , Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite.

../_images/z-test-mean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/z-test-mean3.fr.png

Z-Test, difference de moyennes

La formule pour le Z-Test de différence entre deux moyennes de populations est :

\[z = \dfrac{(\bar{X_1}-\bar{X_2}) - (\mu_1-\mu_1)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2} }}\]
\[\text{valeur de test} = \dfrac{(\text{valeur observée}) - (\text{valeur attendue})} {\text{erreur standard}}\]

Exemple:

Une enquête a révélé que le tarif moyen d’une chambre d’hôtel à la Nouvelle-Orléans est de 88,42 dollars et le tarif moyen d’une chambre à Phoenix est de 80,61 dollars. Supposons que les données proviennent de deux échantillons de 50 hôtels chacun et que les écarts-types des populations sont respectivement de 5,62 dollars et 4,83 dollars. Avec , peut-on conclure qu’il y a une différence significative dans les taux? Trouvez l’intervalle de confiance à 95% pour la différence entre les moyennes de ces données.

Solution:

Etape 1: Enoncer les hypothèses et identifier la revendication des moyennes.

\[H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{et} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \text{(revendication)}\]

Étape 2 : Trouvez les valeurs critiques. Puisque \(lpha=0.05\), les valeurs critiques sont +1.96 et -1.96.

Etape 3: Calculer la valeur de test.

\[z = \dfrac{(\bar{X_1}-\bar{X_2}) - (\mu_1-\mu_1)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2} }}\]
\[z = \dfrac{(88.42 - 80.61) - 0}{\sqrt{\dfrac{5.62^2}{50} + \dfrac{4.83^2}{50} }} = 7.45\]

Etape 4: Décider. Rejetez l’hypothèse nulle à \(lpha=0,05\), puisque 7,45 > 1,96.

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Stape 5: Résumer le résultat. Il existe suffisamment de preuves pour étayer l’affirmation selon laquelle les moyennes ne sont pas égaux. Par conséquent, il existe une différence significative dans les taux.

Z-Test, difference de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation, difference de moyenne

../_images/z-test-diffmean1.fr.png

Saisir les varibles (Hypothèse nulle, Hypothèse alternative, Valeur de Alpha, Moyenne de l’échantillon, Écart type de la population , Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite pour les deux échantillons.

../_images/z-test-diffmean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/z-test-diffmean3.fr.png

Z-Test de Proportion

La formule pour le Z-Test de proportion est

\[z = \dfrac{\hat{p} - p}{\sqrt{pq/n}}\]

On suppose que pour ce test:

  1. On a un échantillon aléatoire.

  2. Les conditions pour une expérience binomiale sont remplies.

  3. \(np \geq 5\) and \(nq \geq 5\).

Exemple:

Une diététiste affirme que 60% des gens essaient d’éviter les gras trans dans leur alimentation. Elle a sélectionné au hasard 200 personnes et a constaté que 128 personnes ont déclaré qu’elles essayaient d’éviter les gras trans dans leur alimentation. Avec \(\alpha=0.05\), y a-t-il suffisamment de preuves pour rejeter l’allégation de la diététiste?

Solution:

Étape 1: Enoncez l’hypothèse et identifiez la réclamation.

\[H_0: p = 0,60 \quad \text{(revendication)} \quad \text{et} \quad H_1: p \neq 0,60\]

Étape 2: Trouvez les valeurs critiques. Étant donné que \(\alpha=0.05\) et que la valeur de test est bilatérale, les valeurs critiques sont +1,96 et -1,96.

Étape 3: Calculez la valeur de test. Tout d’abord, il est nécessaire de trouver \(\hat{p}\).

\[\hat{p} = \dfrac{X}{n} = \dfrac{128}{200}=0,64 \quad \quad p = 0,60 \quad \text{et donc} \quad q = 1-p = 0,40\]

Ainsi

\[z = \dfrac{0.64 - 0.60}{\sqrt{ 0.60*0.40/200}} = 1.15\]

Etape 4: Décision. Ne rejetez pas l’hypothèse nulle car la valeur de test se situe en dehors de la région critique, comme le montre la figure ci-dessous.

../_images/z_prop.png

Etape 5: Il n’y a pas suffisamment de preuves pour rejeter l’affirmation selon laquelle 60% des gens essaient d’éviter les gras trans dans leur alimentation.

Z-Test de proportion dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-test proportion

../_images/z-test-prop1.fr.png

Saisir les varibles (Hypothèse nulle, Hypothèse alternative, Valeur de Alpha, nombre de succès, Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite.

../_images/z-test-prop2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/z-test-prop3.fr.png

Z-Test, difference de Proportion

La formule pour le Z-Test de difference entre deux proportions est

\[z = \dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p_1)}{\sqrt{\bar{p}\bar{q}(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}) }}\]

où

\[\bar{p} = \dfrac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} \quad \quad \hat{p_1} = \dfrac{X_1}{n_1}\]

et

\[\bar{q} = 1 - \bar{p} \quad \quad \hat{p_2} = \dfrac{X_2}{n_2}\]

La formule ci-dessus suis le format suivant:

\[\text{valeur de test} = \dfrac{(\text{valeur observée}) - (\text{valeur attendue})} {\text{erreur standard}}\]

On suppose que pour ce test:

  1. On a des échantillons aléatoires

  2. Les échantillons sont independants.

  3. Pour les deux échantillon \(np \geq 5\) and \(nq \geq 5\).

Exemple:

Les chercheurs ont constaté que 12 des 34 petites maisons de soins infirmiers avaient un taux de vaccination des résidents de moins de 80%, tandis que 17 des 24 grandes maisons de soins infirmiers avaient un taux de vaccination de moins de 80%. Avec \(\alpha=0.05\), testez l’affirmation selon laquelle il n’y a pas de différence dans les proportions des petites et grandes maisons de soins infirmiers avec un taux de vaccination des résidents de moins de 80%.

Solution:

Soit \(\hat{p_1}\) la proportion petites maisons de soins infirmiers avec un taux de vaccination de moins de 80% et \(\hat{p_2}\) la proportion des grandes maisons de soins infirmiers avaient un taux de vaccination de moins de 80%. Alors

\[\bar{p} = \dfrac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \dfrac{12 + 17}{34 + 24}=0.5 \quad \quad \hat{p_1} = \dfrac{X_1}{n_1} = \dfrac{12}{34} = 0.35\]
\[\bar{q} = 1 - \bar{p} = 1-0.5=0.5 \quad \quad \hat{p_2} = \dfrac{X_2}{n_2} = \dfrac{17}{24} = 0.71\]

Etape 1: Enoncer les hypothèses et identifier la revendication des moyennes.

\[H_0: p_1 = p_2 \quad \text{(revendication)} \quad \text{and} \quad H_1: p_1 \neq p_2\]

Étape 2 : Trouvez les valeurs critiques. Puisque \(lpha=0.05\), les valeurs critiques sont +1.96 et -1.96.

Etape 3: Calculer la valeur de test.

\[z = \dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p_1)}{\sqrt{\bar{p}\bar{q}(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}) }}\]
\[z = \dfrac{(0.35 - 0.75) - 0}{\sqrt{0.5*0.5(\dfrac{1}{34} + \dfrac{1}{24}) }} = -2.7\]

Etape 4: Decider. Rejeter l’hypothèse nulle, vue que -2,7 < -1,96.

../_images/z_diff_prop.png

Etape 5: Resumer le resultat. Il y a suffisamment de preuves pour rejeter l’affirmation selon laquelle il n’y a pas de différence dans les proportions de petites et grandes maisons de soins infirmiers avec un taux de vaccination des résidents inférieur à 80%.

Z-Test, difference de proportion dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-Estimation, difference de Proportion

../_images/z-test-diffprop1.fr.png

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici Z-test, difference proportion

../_images/z-test-diffprop2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/z-test-diffprop3.fr.png

T-Test de moyenne

La formule pour le T-Test de moyenne

\[t = \dfrac{\bar{X} -\mu}{s/\sqrt{n}}\]

La formule ci-dessus suis le format suivant:

\[\text{valeur de test} = \dfrac{(\text{valeur observée}) - (\text{valeur attendue})} {\text{erreur standard}}\]

Ici on assume que:

  1. On a un échantillon aléatoire.

  2. Soit \(n \geq 30\) soit la population est normallement distribuée si \(n < 30\).

Exemple:

Une enquête médicale affirme que le nombre moyen d’infections par semaine dans un hôpital du sud-ouest de Wakadan est de 16,3. Un échantillon aléatoire de 10 semaines avait un nombre moyen de 17,7 infections. L’écart type de l’échantillon est de 1,8. Y a-t-il suffisamment de preuves pour rejeter la demande de l’enquêteur à 0,05?

Etape 1: \(H_0: \mu = 16,3 \quad \text{(revendication)} \quad \text{et} \quad H_1: \mu \neq 16,3\).

Étape 2: Les valeurs critiques sont +2.262 et -2.262 pour \(\alpha=0,05\) et \(d.f= 9\).

Étape 3: La valeur de test est

\[t = \dfrac{\bar{X} -\mu}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{17.7 -16.3}{1.8/\sqrt{10}} = 2.46\]

Étape 4: Rejeter l’hypothèse nulle vue que \(2.46 > 2.262\).

../_images/t_mean.png

Étape 5: Il existe suffisamment de preuves pour rejeter l’affirmation selon laquelle le nombre moyen d’infections est de 16,3.

T-Test de moyenne dans SimulaMath

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici T-test de moyenne

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Saisir les varibles (Hypothèse nulle, Hypothèse alternative, Valeur de Alpha, Moyenne de l’échantillon, Écart type de l’échantillon, Taille de l’échantillon) dans le panel en haut à droite

../_images/t-test-mean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/t-test-mean3.fr.png

T-Test, difference de moyennes

La formule pour le T-Test de difference entre deux moyennes d’echantillons independant

\[t = \dfrac{(\bar{X_1}-\bar{X_2}) - (\mu_1-\mu_1)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2} }}\]

La formule ci-dessus suis le format suivant:

\[\text{valeur de test} = \dfrac{(\text{valeur observée}) - (\text{valeur attendue})} {\text{erreur standard}}\]

Ici on assume que les variances ne sont pas egales.

  1. Les échantillons sont aléatoires

  2. Les échantillons sont independants.

  3. Soit \(n \geq 30\) soit la population est normalement distribuée si \(n < 30\).

Exemple:

La taille moyenne d’une ferme dans le ville de Thies, au Senegale, est de 191 \(m^2\). La taille moyenne d’une ferme dans la ville de Mbour, au Senegale, est de 199 \(m^2\). Supposons que les données ont été obtenues à partir de deux échantillons avec des écarts types de 38 et 12 \(m^2\), respectivement, et d’échantillon de tailles de 8 et 10, respectivement. Peut-on conclure avec \(\alpha=0.05\) que la taille moyenne des exploitations dans les deux villes est différente? Supposons que les populations soient normalement réparties.

Solution:

Etape 1: Enoncer les hypothèses et identifier la revendication des moyennes.

\[H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{et} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \quad \text{(claim)}\]

Etape 2: Trouvez les valeurs critiques. Puisque le test est bilatéral, et \(lpha=0.05\), et que les variances sont inégales, les degrés de liberté sont les plus petits de \(n_1 - 1\) ou \(n2 - 1\). Dans ce cas, les degrés de liberté sont \(8 - 1 = 7\). D’où , d’après la Table F, les valeurs critiques sont 2,365 et -2,365.

Etape 3 : Calculer la valeur du test. Puisque les variances sont inégales, utilisez la première formule.

\[t = \dfrac{(\bar{X_1}-\bar{X_2}) - (\mu_1-\mu_1)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2} }}\]
\[t = \dfrac{(191 - 199) - 0}{\sqrt{\dfrac{38^2}{8} + \dfrac{12^2}{10} }} = - 0.57\]

Etape 4: Décider. Ne pas rejeter l’hypothèse nulle, vue que \(-0.57 > -2.365\)

../_images/t_diff_mean.png

Etape 5: Résumer le résultat. Il n’y a pas suffisamment de preuves pour étayer l’affirmation selon laquelle la taille moyenne des exploitations est différente

T-Test, difference de moyenne dans SimulaMath

T-Estimation, difference de moyennes dans SimulaMath

../_images/t-test-diffmean1.fr.png

Choisir le type de test/estimation que l’on voudrait evaluer dans les panels à gauche, ici T-test, difference de moyenne

../_images/t-test-diffmean2.fr.png

Cliquer sur Obtenez le résultat situé juste en dessous de la zone de saisie des varibles. Et Voila, vous avez vous resultats dans le panel de bas à droite.

../_images/t-test-diffmean3.fr.png